在学习多元函数微分学的过程中，偏导数是一个非常重要的概念。它用于描述多变量函数在某一方向上的变化率。今天我遇到了一道关于偏导数的题目，感觉有些难度，希望有高手能帮忙分析一下。

题目是这样的：

设函数 $ f(x, y) = \ln\left( x^2 + y^2 \right) $，求其在点 $ (1, 1) $ 处的偏导数 $ f_x $ 和 $ f_y $。

看起来这是一道基础题，但实际操作中还是需要仔细推导。首先，我需要回忆一下偏导数的定义和计算方法。

对于函数 $ f(x, y) $，其对 $ x $ 的偏导数 $ f_x $ 是将 $ y $ 视为常数，对 $ x $ 求导；同样地，$ f_y $ 是将 $ x $ 视为常数，对 $ y $ 求导。

那么，先来求 $ f_x $：

$$

f_x = \frac{\partial}{\partial x} \ln(x^2 + y^2)

$$

根据链式法则，外层函数是 $ \ln(u) $，内层函数是 $ u = x^2 + y^2 $，所以导数为：

$$

f_x = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}

$$

同理，求 $ f_y $：

$$

f_y = \frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}

$$

接下来代入点 $ (1, 1) $：

$$

f_x(1, 1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1

$$

$$

f_y(1, 1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1

$$

看起来结果是对的，但我还是有点不确定，是不是哪里漏掉了什么？比如是否应该考虑函数在该点的连续性或可导性？或者有没有其他更简便的方法？

如果你也遇到类似的问题，或者对这个过程有什么疑问，欢迎一起讨论！希望有更多人能分享自己的解题思路，共同进步。