【平面向量的所有公式】平面向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、几何、计算机图形学等领域。为了帮助学习者系统掌握平面向量的相关知识，本文将对平面向量的基本公式进行总结，并以表格形式展示，便于理解和记忆。
一、基本概念
在平面直角坐标系中，向量可以表示为从一点指向另一点的有向线段，通常用小写字母如 a、b 表示，或用坐标形式如 (x, y) 表示。
二、向量的基本运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 向量加法 | a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) | 将两个向量对应分量相加 | ||
| 向量减法 | a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) | 将两个向量对应分量相减 | ||
| 向量数乘 | k·a = (kx, ky) | 向量与标量相乘，长度变为原来的 k 倍 | ||
| 向量模长 | a | = √(x² + y²) | 向量的大小（长度） | |
| 单位向量 | e = a / | a | 方向与原向量相同，长度为1 |
三、向量的点积（数量积）
点积用于计算两个向量之间的夹角或投影，常用于判断向量是否垂直。
| 公式 | 说明 | ||||
| a · b = x₁x₂ + y₁y₂ | 向量点积的坐标形式 | ||||
| a · b = | a | b | cosθ | 向量点积的几何意义（θ 为两向量夹角） | |
| 若 a · b = 0，则 a ⊥ b | 点积为零表示两向量垂直 |
四、向量的叉积（向量积）
叉积主要用于三维空间，但在二维中也可通过扩展来计算其“大小”。
| 公式 | 说明 | ||||||
| a × b = x₁y₂ - x₂y₁ | 二维向量叉积的代数表达式（结果为标量） | ||||||
| a × b | = | a | b | sinθ | 叉积的绝对值等于两向量构成的平行四边形面积 | ||
| 若 a × b = 0，则 a ∥ b | 叉积为零表示两向量共线 |
五、向量的夹角公式
| 公式 | 说明 | ||||
| cosθ = (a · b) / ( | a | b | ) | 计算两向量夹角的余弦值 | |
| tanθ = | a × b | / (a · b) | 若 a · b ≠ 0，可计算夹角的正切值 |
六、向量的投影公式
| 公式 | 说明 | ||||
| proj_b a = (a · b / | b | ²) · b | 向量 a 在向量 b 上的投影向量 | ||
| proj_b a | = | a | cosθ | 投影的长度（标量） |
七、向量的线性组合与基底
| 说明 | 举例 |
| 向量可以表示为其他向量的线性组合 | 如：a = λb + μc |
| 标准基底 | i = (1, 0)，j = (0, 1) |
| 向量分解 | a = x·i + y·j |
八、向量的共线与垂直条件
| 条件 | 说明 |
| 共线 | 存在实数 k，使得 a = k·b |
| 垂直 | a · b = 0 或 a × b = 0（二维中） |
九、向量的坐标变换
| 公式 | 说明 |
| 平移变换 | a' = a + t（t 为平移向量） |
| 旋转变换 | 若绕原点旋转 θ 角度，新向量为：(x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ) |
十、向量在几何中的应用
| 应用场景 | 公式示例 | ||||
| 求两点距离 | AB | = | B - A | ||
| 判断三点共线 | 向量 AB 和 AC 的叉积为零 | ||||
| 求三角形面积 | S = ½ | AB × AC |
总结
平面向量的公式涵盖加减、数乘、点积、叉积、投影、夹角、共线与垂直等多个方面，是解决几何和物理问题的重要工具。通过熟练掌握这些公式，能够更高效地分析和处理相关问题。建议结合具体题目进行练习，以加深理解。
