【七个分布的期望与方差】在概率论与数理统计中，常见的概率分布有多种，每种分布都有其特定的数学期望和方差。这些数值可以帮助我们更好地理解随机变量的集中趋势和离散程度。以下是对七种常见概率分布的期望与方差的总结。
一、二项分布（Binomial Distribution）
- 定义：在n次独立重复试验中，成功次数X服从参数为n和p的二项分布。
- 期望：E(X) = np
- 方差：Var(X) = np(1-p)
二、泊松分布（Poisson Distribution）
- 定义：描述单位时间内事件发生的次数，参数λ表示平均发生次数。
- 期望：E(X) = λ
- 方差：Var(X) = λ
三、正态分布（Normal Distribution）
- 定义：连续型分布，由均值μ和标准差σ决定。
- 期望：E(X) = μ
- 方差：Var(X) = σ²
四、均匀分布（Uniform Distribution）
- 定义：在区间[a, b]上等概率分布。
- 期望：E(X) = (a + b)/2
- 方差：Var(X) = (b - a)²/12
五、指数分布（Exponential Distribution）
- 定义：描述事件发生的时间间隔，参数λ为速率。
- 期望：E(X) = 1/λ
- 方差：Var(X) = 1/λ²
六、几何分布（Geometric Distribution）
- 定义：首次成功前的试验次数，参数p为成功概率。
- 期望：E(X) = 1/p
- 方差：Var(X) = (1 - p)/p²
七、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
- 定义：从有限总体中不放回抽样，描述成功次数。
- 期望：E(X) = n (K/N)
- 方差：Var(X) = n (K/N) ((N - K)/N) ((N - n)/(N - 1))
表格总结
| 分布名称 | 参数 | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 二项分布 | n, p | np | np(1 - p) |
| 泊松分布 | λ | λ | λ |
| 正态分布 | μ, σ² | μ | σ² |
| 均匀分布 | a, b | (a + b)/2 | (b - a)²/12 |
| 指数分布 | λ | 1/λ | 1/λ² |
| 几何分布 | p | 1/p | (1 - p)/p² |
| 超几何分布 | N, K, n | nK/N | n(K/N)(1 - K/N)((N - n)/(N - 1)) |
以上内容对七种常见概率分布的期望与方差进行了系统性的归纳，有助于学习者快速掌握相关知识并应用于实际问题中。
