【奇函数乘以偶函数等于什么函数】在数学中，函数的奇偶性是一个重要的性质，常用于分析函数的对称性。当我们将一个奇函数与一个偶函数相乘时，其结果会呈现出怎样的性质呢？以下是对这一问题的详细总结。
一、基本概念回顾
1. 奇函数：满足 $ f(-x) = -f(x) $ 的函数，图像关于原点对称。
2. 偶函数：满足 $ f(-x) = f(x) $ 的函数，图像关于 y 轴对称。
二、奇函数与偶函数相乘的性质
当一个奇函数 $ f(x) $ 与一个偶函数 $ g(x) $ 相乘时，得到的新函数为 $ h(x) = f(x) \cdot g(x) $。我们来分析这个新函数的奇偶性。
1. 计算 $ h(-x) $
$$
h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)
$$
根据奇函数和偶函数的定义：
- $ f(-x) = -f(x) $
- $ g(-x) = g(x) $
因此，
$$
h(-x) = (-f(x)) \cdot g(x) = -f(x) \cdot g(x) = -h(x)
$$
这说明 $ h(-x) = -h(x) $，即新函数 $ h(x) $ 是一个奇函数。
三、结论总结
| 函数类型 | 奇函数 × 偶函数 | 结果函数类型 |
| 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
四、举例说明
- 设 $ f(x) = x^3 $（奇函数），$ g(x) = x^2 $（偶函数），则：
$$
h(x) = x^3 \cdot x^2 = x^5
$$
显然，$ h(x) = x^5 $ 是一个奇函数。
- 再如 $ f(x) = \sin(x) $（奇函数），$ g(x) = \cos(x) $（偶函数），则：
$$
h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)
$$
该函数也是奇函数。
五、注意事项
- 如果两个函数中有一个是零函数（即恒为0），那么无论另一个函数是什么，乘积都是零函数，既是奇函数也是偶函数。
- 本结论适用于所有定义域对称的函数。
六、小结
奇函数与偶函数相乘的结果是一个奇函数。这一结论在数学分析、信号处理等领域有广泛应用，有助于简化计算和理解函数的对称性。理解这一性质，有助于更深入地掌握函数的基本特性。
