【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学学习中，泰勒展开是一个重要的数学工具，尤其在函数近似、极限计算以及微分学中有广泛应用。虽然泰勒展开通常是在大学阶段深入学习的内容，但一些常见的基本展开式在高中阶段也具有重要价值。以下是高中阶段常用的十个泰勒展开公式，以加表格的形式呈现，便于理解和记忆。
一、泰勒展开简介
泰勒展开是将一个函数表示为无穷级数的一种方法，其形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开（Maclaurin series）。以下列出的十个公式均为麦克劳林展开形式，适用于 $ x $ 接近 0 的情况。
二、高中常用十种泰勒展开公式
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + \cdots $（$ | x | < 1 $） |
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $（$ | x | \leq 1 $） |
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots $（收敛域较复杂） | ||
| 7 | $ \arccos x $ | $ \frac{\pi}{2} - \arcsin x $（可由 arcsin 展开推导） | ||
| 8 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $（二项式展开） | ||
| 9 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots $（$ | x | < 1 $） |
| 10 | $ \frac{1}{1+x} $ | $ 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + \cdots $（$ | x | < 1 $） |
三、使用说明与注意事项
1. 适用范围：上述公式均适用于 $ x $ 接近 0 的情况，部分如 $ \ln(1+x) $、$ \frac{1}{1-x} $ 等有特定的收敛域。
2. 近似计算：在实际应用中，常取前几项进行近似计算，误差随项数增加而减小。
3. 记忆技巧：
- 指数函数 $ e^x $ 的展开式每一项都是 $ x^n / n! $；
- 正弦和余弦函数的展开式分别只包含奇次幂和偶次幂；
- 对数和反三角函数的展开较为复杂，建议结合图形或具体例子理解。
四、总结
掌握这些常见的泰勒展开公式，有助于提高对函数性质的理解，也能为后续的高等数学打下坚实基础。在高中阶段，重点应放在理解展开的意义和应用场景上，而不是过分追求复杂的推导过程。通过不断练习和应用，可以更熟练地运用这些公式解决实际问题。
