【求高等数学所有的求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要基础，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等多个领域。掌握基本的求导公式是学习微积分的关键一步。以下是对高等数学中常见的求导公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- 若 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ y = e^{x^2} $，则 $ y' = e^{x^2} \cdot 2x $
三、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则有：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
$$
四、高阶导数
对于函数 $ f(x) $，其二阶导数为：
$$
f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2}
$$
同理可得更高阶导数，如三阶导数、四阶导数等。
五、隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，两边对 $ x $ 求导即可得到 $ y' $。
例如：
若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则对两边求导得：
$$
2x + 2y \cdot y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}
$$
六、参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \text{当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
七、导数的运算法则
1. 和差法则：
$ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $
2. 乘积法则：
$ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $
3. 商法则：
$ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $
4. 幂法则：
若 $ f(x) = [g(x)]^n $，则 $ f'(x) = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $
八、常用导数表（简要）
| 函数 | 导数 | ||
| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \text{arcsec} x $ | $ \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ \text{arccsc} x $ | $ -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
总结
高等数学中的求导公式种类繁多，涵盖了基本初等函数、复合函数、隐函数、参数函数等多种类型。掌握这些公式不仅有助于解题，也为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实的基础。建议通过反复练习和实际应用来加深理解，提高运算能力。
