【三角函数转换公式大全】在数学学习中，三角函数的转换公式是解决各类三角问题的重要工具。无论是解三角形、求角度、还是进行三角恒等变换，掌握这些公式都能大大提高解题效率。以下是对常见三角函数转换公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数关系
| 名称 | 公式 |
| 正弦与余弦 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正割 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
二、角度转换公式（弧度与角度）
| 角度（°） | 弧度（rad） |
| 0° | 0 |
| 30° | $ \frac{\pi}{6} $ |
| 45° | $ \frac{\pi}{4} $ |
| 60° | $ \frac{\pi}{3} $ |
| 90° | $ \frac{\pi}{2} $ |
| 180° | $ \pi $ |
| 270° | $ \frac{3\pi}{2} $ |
| 360° | $ 2\pi $ |
三、诱导公式（角度的加减）
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 偶函数性质 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 对称于90° |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 对称于90° |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 180°对称 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 180°对称 |
| $ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta $ | 360°对称 |
| $ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta $ | 360°对称 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 和差角公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 和差角公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 和差角公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ | 两倍角公式 |
| $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 两倍角公式 |
| $ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $ | 另一种形式 |
| $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $ | 另一种形式 |
| $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 两倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 半角公式 |
| $ \cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 半角公式 |
| $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ | 半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ | 积化和差 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ | 积化和差 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
九、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4} $ | 三次方公式 |
| $ \cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4} $ | 三次方公式 |
| $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} $ | 平方降次公式 |
| $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $ | 平方降次公式 |
总结
三角函数的转换公式种类繁多，但它们之间有着紧密的联系。掌握这些公式不仅有助于提高解题速度，还能增强对三角函数整体结构的理解。建议结合实际题目进行练习，加深记忆并灵活运用。通过不断积累和实践，你将能够熟练应对各种三角函数问题。
