【什么是负二项分布】负二项分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在一系列独立的伯努利试验中，成功次数达到指定数量之前失败次数的分布情况。它与几何分布密切相关，但更适用于多次成功目标的情况。
一、负二项分布的基本概念
负二项分布（Negative Binomial Distribution）是一种统计模型，用来描述在进行一系列独立的伯努利试验时，直到第 r 次成功发生前，出现 k 次失败的概率分布。其核心思想是：在固定的成功次数下，观察到多少次失败。
该分布通常用于以下场景：
- 保险理赔次数预测
- 市场营销中的客户转化率分析
- 生物学中的实验重复次数计算
二、负二项分布的数学定义
设随机变量 X 表示在第 r 次成功前发生的失败次数，则 X 服从参数为 r 和 p 的负二项分布，记作：
$$
X \sim \text{NegBin}(r, p)
$$
其中：
- r 是期望成功的次数（正整数）
- p 是每次试验成功的概率（0 < p < 1）
其概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = \binom{k + r - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^k
$$
三、负二项分布与几何分布的关系
负二项分布可以看作是几何分布的扩展。几何分布描述的是第一次成功前的失败次数，而负二项分布则描述第 r 次成功前的失败次数。
| 分布类型 | 成功次数 | 失败次数 | 公式形式 |
| 几何分布 | 1 | k | $ P(X=k) = p(1-p)^k $ |
| 负二项分布 | r | k | $ P(X=k) = \binom{k + r - 1}{r - 1} p^r (1-p)^k $ |
四、负二项分布的期望与方差
对于负二项分布 $ X \sim \text{NegBin}(r, p) $，其期望和方差分别为：
- 期望（均值）：
$$
E[X] = \frac{r(1 - p)}{p}
$$
- 方差：
$$
\text{Var}(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2}
$$
可以看出，方差大于期望，这表明负二项分布具有较高的变异性。
五、实际应用举例
| 应用场景 | 描述 | 使用负二项分布的原因 |
| 销售转化率分析 | 预测客户访问后达成销售的次数 | 需要预测达到一定成交次数前的失败次数 |
| 医疗研究 | 病人接受治疗后康复的次数 | 研究在达到一定康复次数前的失败或复发次数 |
| 游戏设计 | 玩家获得特定成就所需的尝试次数 | 评估玩家在完成任务前可能遇到的失败次数 |
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 负二项分布 |
| 类型 | 离散型概率分布 |
| 定义 | 在第 r 次成功前，发生 k 次失败的概率 |
| 参数 | r（成功次数）、p（单次成功概率） |
| PMF | $ P(X=k) = \binom{k + r - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^k $ |
| 期望 | $ \frac{r(1 - p)}{p} $ |
| 方差 | $ \frac{r(1 - p)}{p^2} $ |
| 相关分布 | 几何分布（r=1） |
| 应用场景 | 销售、医疗、游戏、保险等 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解什么是负二项分布，以及它在实际问题中的应用价值。
