【什么是四元数】四元数（Quaternions）是一种扩展了复数概念的数学工具，广泛应用于三维旋转、计算机图形学、机器人控制和物理学等领域。它由爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿于1843年提出，是实数、复数之后的一种超复数系统。
四元数在表达三维空间中的旋转时具有独特优势，相较于欧拉角，它能够避免“万向节锁”问题，并且计算效率更高。因此，它在现代科技中扮演着重要角色。
四元数的基本概念总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 四元数是一个形如 $ q = a + bi + cj + dk $ 的数，其中 $ a, b, c, d $ 是实数，$ i, j, k $ 是虚数单位。 |
| 基本性质 | - $ i^2 = j^2 = k^2 = -1 $ - $ ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j $ - $ ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j $ |
| 表示方式 | 通常写作 $ q = w + xi + yj + zk $，其中 $ w $ 是实部，$ (x, y, z) $ 是虚部向量。 |
| 应用领域 | 三维旋转、计算机图形学、机器人运动控制、飞行器姿态调整等。 |
| 优点 | - 避免万向节锁 - 计算效率高 - 易于插值（如球面线性插值 SLERP） |
| 缺点 | - 理解难度较高 - 相对复数更复杂 |
四元数与旋转的关系
在三维空间中，一个旋转可以用一个单位四元数来表示。设旋转轴为单位向量 $ \vec{v} = (x, y, z) $，旋转角度为 $ \theta $，则对应的四元数为：
$$
q = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)(xi + yj + zk)
$$
通过这个四元数，可以高效地进行旋转操作，特别是在需要连续旋转或插值的应用中。
四元数的运算
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 加法 | $ q_1 + q_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i + (c_1 + c_2)j + (d_1 + d_2)k $ | 对应分量相加 | ||
| 乘法 | $ q_1 \cdot q_2 = (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i + ... $ | 需要遵循特定的乘法规则 | ||
| 共轭 | $ q^ = a - bi - cj - dk $ | 用于求逆元 | ||
| 模长 | $ \ | q\ | = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} $ | 表示四元数的大小 |
| 逆元 | $ q^{-1} = \frac{q^}{\ | q\ | ^2} $ | 用于旋转操作中的反向变换 |
总结
四元数是一种强大的数学工具，尤其适合处理三维空间中的旋转问题。尽管其理论较为抽象，但它的高效性和稳定性使其成为许多现代技术的核心组成部分。理解四元数不仅有助于深入掌握数学知识，也能提升在工程和科学领域的实际应用能力。
