【离散傅里叶变换常用公式】离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是数字信号处理中非常重要的工具，用于将时域信号转换为频域表示。DFT在音频处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。为了便于理解和使用，以下对DFT及其相关公式进行总结，并以表格形式展示其主要表达式和含义。
一、基本定义
DFT是对一个长度为 $ N $ 的有限长序列 $ x(n) $ 进行变换，得到其频域表示 $ X(k) $。其数学表达式如下：
$$
X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, 2, ..., N-1
$$
其中：
- $ x(n) $ 是输入的时域序列；
- $ X(k) $ 是输出的频域序列；
- $ j $ 是虚数单位；
- $ N $ 是序列长度。
二、逆离散傅里叶变换（IDFT）
若已知频域序列 $ X(k) $，可通过IDFT将其还原为时域序列 $ x(n) $，其公式为：
$$
x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{j2\pi kn/N}, \quad n = 0, 1, 2, ..., N-1
$$
三、常见性质与公式
以下是DFT的一些常用性质及对应的公式，有助于在实际应用中快速计算和分析。
| 序号 | 公式名称 | 数学表达式 |
| 1 | 线性性 | $ \text{DFT}\{a x(n) + b y(n)\} = a X(k) + b Y(k) $ |
| 2 | 时移特性 | $ \text{DFT}\{x(n - m)\} = X(k) e^{-j2\pi km/N} $ |
| 3 | 频移特性 | $ \text{DFT}\{x(n) e^{j2\pi ln/N}\} = X((k - l))_N $ |
| 4 | 对称性 | $ X(N - k) = X^(k) $ （当 $ x(n) $ 为实数时成立） |
| 5 | 卷积定理 | $ \text{DFT}\{x(n) y(n)\} = X(k) Y(k) $ |
| 6 | 相关定理 | $ \text{DFT}\{x(n) \star y(n)\} = X(k) Y^(k) $ |
| 7 | 周期性 | $ X(k + N) = X(k) $，$ x(n + N) = x(n) $ |
四、典型例子
以下是一个简单的例子，说明如何计算一个长度为4的序列的DFT。
设 $ x(n) = [1, 2, 3, 4] $，则：
$$
X(0) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \\
X(1) = 1 + 2e^{-j\pi/2} + 3e^{-j\pi} + 4e^{-j3\pi/2} = 1 - 2j - 3 + 4j = -2 + 2j \\
X(2) = 1 + 2e^{-j\pi} + 3e^{-j2\pi} + 4e^{-j3\pi} = 1 - 2 + 3 - 4 = -2 \\
X(3) = 1 + 2e^{-j3\pi/2} + 3e^{-j3\pi} + 4e^{-j9\pi/2} = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 - 2j
$$
因此，$ X(k) = [10, -2 + 2j, -2, -2 - 2j] $
五、小结
DFT是一种将离散时间信号转换为复数频谱的数学工具，具有线性、周期性、对称性等重要性质。掌握这些常用公式对于理解信号频域特性、设计滤波器、实现快速傅里叶变换（FFT）等都至关重要。通过表格形式整理DFT的基本公式和性质，有助于提高学习效率和应用能力。
