【求导公式运算法则】在微积分的学习中，求导是核心内容之一。掌握基本的求导公式和运算法则是进行复杂函数求导的基础。本文将系统地总结常见的求导公式与运算法则，并通过表格形式清晰展示，便于理解和记忆。
一、基本求导公式
以下是一些常见函数的导数公式，适用于初等函数的求导：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、求导运算法则
除了基本的求导公式外，还需掌握一些重要的运算法则，用于处理复合函数、乘积、商等复杂形式的求导问题。
1. 常数倍法则
若 $ f(x) = k \cdot u(x) $，其中 $ k $ 为常数，则
$$
f'(x) = k \cdot u'(x)
$$
2. 加减法法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则
$$
f'(x) = u'(x) \pm v'(x)
$$
3. 乘法法则（莱布尼茨法则）
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
4. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
5. 复合函数求导法则（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
三、典型例题解析
例1： 求 $ f(x) = x^2 \cdot \sin x $ 的导数
解： 使用乘法法则
$$
f'(x) = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x
$$
例2： 求 $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ 的导数
解： 使用商法则
$$
f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot x'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}
$$
四、总结
求导公式和运算法则是微积分中的基础工具，掌握它们不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。建议在学习过程中多做练习，结合图形理解导数的几何意义，从而提升综合应用能力。
附表：求导公式与运算法则汇总
| 类别 | 内容 |
| 基本公式 | $ (x^n)' = nx^{n-1}, (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (e^x)' = e^x, (\ln x)' = \frac{1}{x} $ |
| 运算法则 | 常数倍、加减法、乘法、商法、链式法则 |
| 应用技巧 | 熟练运用公式，灵活组合法则，结合具体例子练习 |
通过系统的复习与实践，能够有效提升对求导知识的掌握程度，为后续的积分、极值等问题打下坚实基础。
