【三角函数变换公式总结】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决各种三角问题的基础工具。无论是解三角形、求周期、还是进行三角恒等式推导，掌握这些公式都至关重要。本文将对常见的三角函数变换公式进行系统性总结，并以表格形式呈现，便于理解和记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | 正切与正割的关系 |
| $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 余切与余割的关系 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ | 负角公式 |
| $\cos(-\theta) = \cos \theta$ | 负角公式 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ | 补角公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ | 补角公式 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta$ | 周期公式 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos \theta$ | 周期公式 |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 正弦倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ | 余弦倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 正切倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 正弦半角公式 |
| $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 余弦半角公式 |
| $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ | 正切半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 积化和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ | 用正切表示正弦 |
| $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ | 用正切表示余弦 |
| $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ | 定义式 |
| $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ | 余切定义 |
总结
三角函数变换公式种类繁多，但它们之间往往存在相互联系和转化关系。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数本质的理解。建议在实际应用中结合图形、单位圆以及具体例题进行练习，从而真正掌握这些公式的使用方法。
通过以上表格的整理，可以更清晰地看到各类公式之间的结构和用途，便于快速查阅和记忆。希望这份总结能为你的学习提供帮助。
