【三角函数的基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式对于理解其性质和应用具有重要意义。以下是对三角函数基本公式的总结与归纳。
一、基本定义
三角函数通常以直角三角形中的边角关系定义，也可通过单位圆进行推广。常见的六种三角函数为：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、基本公式
1. 倒数关系
| 公式 | 说明 |
| sinθ = 1 / cscθ | 正弦与余割互为倒数 |
| cosθ = 1 / secθ | 余弦与正割互为倒数 |
| tanθ = 1 / cotθ | 正切与余切互为倒数 |
2. 商数关系
| 公式 | 说明 |
| tanθ = sinθ / cosθ | 正切等于正弦除以余弦 |
| cotθ = cosθ / sinθ | 余切等于余弦除以正弦 |
3. 平方关系（毕达哥拉斯恒等式）
| 公式 | 说明 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 基本的平方恒等式 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | 与正切和正割相关 |
| 1 + cot²θ = csc²θ | 与余切和余割相关 |
三、角度的转换公式
| 公式 | 说明 |
| sin(90° - θ) = cosθ | 正弦与余弦互换 |
| cos(90° - θ) = sinθ | 余弦与正弦互换 |
| tan(90° - θ) = cotθ | 正切与余切互换 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 正弦的和差公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 余弦的和差公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 正切的和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| sin2θ = 2 sinθ cosθ | 正弦的倍角公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ 或 2cos²θ - 1 或 1 - 2sin²θ | 余弦的倍角公式 |
| tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) | 正切的倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 正弦的半角公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 余弦的半角公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | 正切的半角公式 |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 | 积化和差公式 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | 余弦积化和差 |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | 正弦积化和差 |
| sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | 和差化积公式 |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | 余弦和差化积 |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | 正弦差化积 |
总结
三角函数的基本公式是学习三角学的核心内容，掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，也能提升对数学逻辑的理解能力。通过不断练习和应用，可以更灵活地运用这些公式进行计算与推导。
