【三角函数公式大全】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题，还能加深对三角函数性质的理解。以下是对常见三角函数公式的总结，以文字加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本定义
三角函数是基于直角三角形的边角关系来定义的，也可以推广到单位圆上。设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则有：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x
- cotα = x/y
- secα = 1/x
- cscα = 1/y
二、基本公式
1. 诱导公式（角度转换）
| 角度 | sin(α) | cos(α) | tan(α) |
| -α | -sinα | cosα | -tanα |
| π-α | sinα | -cosα | -tanα |
| π+α | -sinα | -cosα | tanα |
| 2π-α | -sinα | cosα | -tanα |
2. 同角三角函数关系
| 公式 | 表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 倒数关系 | tanα = sinα / cosα；cotα = cosα / sinα |
| 商数关系 | secα = 1 / cosα；cscα = 1 / sinα |
3. 和差公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ |
| 余弦和差 | cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ |
| 正切和差 | tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ) |
4. 二倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦 | sin2α = 2sinαcosα |
| 余弦 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
5. 三倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦 | sin3α = 3sinα - 4sin³α |
| 余弦 | cos3α = 4cos³α - 3cosα |
| 正切 | tan3α = (3tanα - tan³α) / (1 - 3tan²α) |
6. 半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα |
三、积化和差与和差化积
| 公式 | 表达式 |
| 积化和差 | sinαcosβ = [sin(α+β) + sin(α−β)] / 2 |
| cosαcosβ = [cos(α+β) + cos(α−β)] / 2 | |
| sinαsinβ = [cos(α−β) − cos(α+β)] / 2 | |
| 和差化积 | sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α−β)/2] |
| sinα - sinβ = 2cos[(α+β)/2]sin[(α−β)/2] | |
| cosα + cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α−β)/2] | |
| cosα - cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α−β)/2] |
四、常用特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度 | sinα | cosα | tanα |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90 | π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
五、反三角函数简介
反三角函数是三角函数的逆函数，用于求已知三角函数值对应的角，如：
- arcsin(x)：返回正弦值为x的角度
- arccos(x)：返回余弦值为x的角度
- arctan(x)：返回正切值为x的角度
总结
三角函数公式繁多，但其核心在于理解它们之间的相互关系与变换规律。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地解决各类三角问题。建议在学习过程中结合图形理解，并通过练习不断巩固记忆。希望本文能为你的学习提供帮助。
