【三角形重心坐标公式是】在几何学中，三角形的重心是一个重要的概念，它不仅是三角形三条中线的交点，也是三角形的质心。重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的一段是靠近边的一段的两倍。计算三角形重心坐标的公式是几何分析中的基础内容之一，尤其在计算机图形学、工程力学和数学建模中具有广泛应用。
一、重心坐标的定义
设三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则该三角形的重心 $ G $ 的坐标为：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
这个公式表明，重心的横坐标是三个顶点横坐标的平均值，纵坐标同理。
二、公式推导简要说明
重心的坐标可以通过向量法或解析几何法进行推导。从几何角度看，重心是三角形三边中线的交点，而中线的中点坐标可以表示为两个顶点坐标的平均值。因此，通过求解中线交点的坐标，可以得出重心的坐标公式。
三、公式应用举例
| 顶点坐标 | 重心坐标 |
| A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6) | G(3, 4) |
| A(0, 0), B(2, 0), C(1, 3) | G(1, 1) |
| A(-1, -1), B(2, 3), C(4, 5) | G(5/3, 7/3) |
四、总结
三角形的重心坐标公式是：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
该公式简单直观，便于计算，是解决与三角形质心相关问题的重要工具。无论是在理论研究还是实际应用中，掌握这一公式都有重要意义。
补充说明
- 该公式适用于所有类型的三角形（锐角、直角、钝角）。
- 若已知三角形的三个顶点坐标，可以直接代入公式求出重心位置。
- 在三维空间中，重心坐标的计算方式类似，只需将坐标扩展为 $ (x, y, z) $ 形式。
