【什么函数求导是arctan】在微积分的学习中，常常会遇到“已知一个函数的导数是某个表达式，求原函数”的问题。其中，“什么函数的导数是 arctan x”是一个常见且具有代表性的题目。本文将通过总结的方式，结合表格形式，清晰地展示这一问题的答案。
一、
我们知道，arctan x 是一个常见的反三角函数，它的导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
但问题是：“什么函数的导数是 arctan x？”也就是说，我们要求的是一个函数 $ f(x) $，使得：
$$
f'(x) = \arctan x
$$
要找到这样的函数，我们需要对 arctan x 进行不定积分，即：
$$
f(x) = \int \arctan x \, dx
$$
这个积分可以通过分部积分法来解决。设 $ u = \arctan x $，$ dv = dx $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $，$ v = x $。根据分部积分公式：
$$
\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来计算第二个积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，最终结果为：
$$
f(x) = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中，C 是积分常数。
二、表格展示
| 问题 | 答案 |
| 已知导数为 arctan x，求原函数 | $ f(x) = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| 导数公式 | $ \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| 积分方法 | 分部积分法 |
| 积分结果 | $ \int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| 注意事项 | 需要加上积分常数 C |
三、结语
通过对 arctan x 的积分分析，我们可以得出：一个函数的导数是 arctan x，那么这个函数就是 $ x \cdot \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $。这一过程不仅加深了对反三角函数及其积分的理解，也展示了微积分中常用技巧的应用。
如需进一步拓展，还可以研究其他反三角函数的积分形式，以及它们在实际应用中的意义。
