【什么叫分式方程的经检验】在学习分式方程的过程中，我们常常会听到“经检验”这个词。那么，“什么叫分式方程的经检验”呢？其实，它指的是在解分式方程后，对求得的解进行验证的过程，以确保这些解是原方程的有效解，而不是由于在解题过程中引入的额外解或使分母为零的情况。
分式方程的解法通常包括去分母、化简、求解等步骤，但在这个过程中，可能会出现一些“增根”，即虽然满足化简后的整式方程，却不满足原分式方程的解。因此，为了保证解的正确性，必须进行“经检验”。
一、分式方程的经检验是什么？
定义：
分式方程的经检验是指在求出分式方程的解之后，将这些解代入原方程中，检查是否成立，并确认这些解是否会导致分母为零的情况。
目的：
- 验证解是否满足原方程；
- 排除因去分母而产生的增根；
- 确保所有解都有效且符合原方程的定义域。
二、为什么需要进行经检验？
1. 去分母可能引入增根
在解分式方程时，通常会通过乘以最简公分母来消去分母，这一过程可能会导致某些解在原方程中不成立。
2. 分母不能为零
分式方程中的分母不能为零，如果某个解使得分母为零，则该解无效。
3. 避免误判
有些解可能在化简后的方程中成立，但在原方程中并不成立，因此必须通过检验加以排除。
三、如何进行分式方程的经检验？
步骤如下：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 解出分式方程的解（可能是多个） |
| 2 | 将每个解分别代入原方程的各个分母中 |
| 3 | 检查是否有分母为零的情况 |
| 4 | 若分母为零，则该解无效；否则，再代入整个方程验证是否成立 |
| 5 | 保留有效的解，舍弃无效的解 |
四、举例说明
例题：
解方程：
$$
\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 1}
$$
解法：
1. 去分母，两边同时乘以 $(x - 2)(x + 1)$，得到：
$$
x + 1 = 3(x - 2)
$$
2. 化简得：
$$
x + 1 = 3x - 6 \Rightarrow -2x = -7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}
$$
检验：
1. 代入原方程的分母：
- $x - 2 = \frac{7}{2} - 2 = \frac{3}{2} \neq 0$
- $x + 1 = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2} \neq 0$
2. 代入原方程验证：
左边：$\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$
右边：$\frac{3}{\frac{9}{2}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
左右相等，验证通过。
结论：
$x = \frac{7}{2}$ 是原方程的有效解。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 分式方程的经检验是对解进行验证的过程，以确保其有效性 |
| 目的 | 避免增根、分母为零等问题，确保解符合原方程 |
| 方法 | 代入原方程，检查分母和方程整体是否成立 |
| 重要性 | 保证解的准确性和合理性，防止错误结果出现 |
通过以上内容可以看出，分式方程的经检验是一个不可或缺的步骤，它有助于提高解题的准确性与严谨性，是数学学习中应掌握的重要技能。
