【什么叫正交变换】正交变换是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。它描述的是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换，具有良好的几何性质和计算稳定性。下面将从定义、性质、应用等方面进行总结，并通过表格形式对关键点进行对比说明。

一、正交变换的定义

正交变换是指在内积空间中，保持向量之间的内积不变的线性变换。换句话说，如果一个线性变换 $ T $ 满足：

$$

\langle T(\mathbf{u}), T(\mathbf{v}) \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle

$$

对于所有向量 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $ 都成立，则称 $ T $ 是一个正交变换。

二、正交变换的性质

1. 保持向量长度不变：

对于任意向量 $ \mathbf{v} $，有 $ \T(\mathbf{v})\ = \\mathbf{v}\ $。

2. 保持向量夹角不变：

向量之间的夹角由它们的内积决定，正交变换不改变这个角度。

3. 正交矩阵表示：

在有限维空间中，正交变换可以由正交矩阵 $ Q $ 表示，满足 $ Q^T Q = I $（即 $ Q^{-1} = Q^T $）。

4. 行列式为 ±1：

正交矩阵的行列式值为 1 或 -1，分别对应旋转或反射操作。

5. 保基正交性：

如果原空间中有一组正交基，那么经过正交变换后，这组基仍然保持正交。

三、正交变换的应用

四、正交变换与相似变换的区别

五、总结

正交变换是一种特殊的线性变换，其核心在于保持向量的长度、夹角以及正交性。它在多个学科中都有广泛应用，尤其在需要保持几何结构不变的场景中非常重要。理解正交变换的性质和应用场景，有助于更好地掌握线性代数的核心思想。

表格总结：

如需进一步探讨正交变换的具体例子或算法实现，欢迎继续提问。