【1+sinx分之一的不定积分】在微积分中，求解函数 $ \frac{1}{1 + \sin x} $ 的不定积分是一个常见但需要技巧的问题。该积分可以通过三角恒等式和代换法进行化简，最终得到一个简洁的结果。
一、
对函数 $ \frac{1}{1 + \sin x} $ 求不定积分时，可以采用以下步骤：
1. 利用三角恒等式：将分子和分母同时乘以 $ 1 - \sin x $，以消去分母中的正弦项。
2. 化简表达式：通过恒等式 $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $，简化后的表达式更容易积分。
3. 使用代换法：如设 $ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $（即万能代换），或直接拆分后积分。
4. 整理结果：最终得到的积分结果通常包含正切函数和余切函数的组合形式。
二、不定积分公式
$$
\int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx = \tan x - \sec x + C
$$
其中，$ C $ 为积分常数。
三、表格展示
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 原始积分表达式：$ \int \frac{1}{1 + \sin x} \, dx $ |
| 2 | 利用恒等式：$ \frac{1}{1 + \sin x} \times \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} $ |
| 3 | 分解为两个部分：$ \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} $ |
| 4 | 积分计算：$ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x $；$ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} \, dx = \sec x $ |
| 5 | 最终结果：$ \tan x - \sec x + C $ |
四、注意事项
- 在实际应用中，可考虑使用其他方法（如万能代换）验证结果。
- 结果中的 $ \tan x $ 和 $ \sec x $ 是基本初等函数，便于后续计算与应用。
- 若需要进一步化简或变形，可根据具体需求调整表达方式。
五、结论
通过对 $ \frac{1}{1 + \sin x} $ 进行适当的代数变换和积分运算，可以得出其不定积分为 $ \tan x - \sec x + C $。这一过程体现了微积分中常见的技巧与方法，适用于类似问题的求解。
