【三角函数的全部公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了便于理解和记忆，本文对常见的三角函数公式进行了系统性的总结，并以表格形式展示，帮助读者快速掌握相关知识。
一、基本定义与公式
三角函数的基本定义基于直角三角形或单位圆，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等六个函数：
| 函数名称 | 定义式 | 单位圆定义 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y / r |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x / r |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y / x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x / y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | r / x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | r / y |
其中，r 是单位圆上的半径，x 和 y 分别为点 (x, y) 的横纵坐标。
二、基本恒等式
以下是一些常用的三角函数恒等式，有助于简化和求解问题：
| 恒等式 | 公式 |
| 勾股恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切的关系 | tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余割的关系 | secθ = 1 / cosθ，cscθ = 1 / sinθ |
| 正切与余切的关系 | tanθ · cotθ = 1 |
| 正割与余切的关系 | sec²θ = 1 + tan²θ |
| 余割与正切的关系 | csc²θ = 1 + cot²θ |
三、诱导公式（角度变换）
这些公式用于将任意角度转换为标准角度（0°~360°），便于计算：
| 角度变换 | 公式 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
| tan(2π - θ) | -tanθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
| 公式 | 公式表达 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值：
| 公式 | 公式表达 |
| sin(2θ) | 2sinθcosθ |
| cos(2θ) | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan(2θ) | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin(3θ) | 3sinθ - 4sin³θ |
| cos(3θ) | 4cos³θ - 3cosθ |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值：
| 公式 | 公式表达 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ |
七、积化和差与和差化积
这些公式用于将乘积形式的三角函数转化为和或差的形式：
| 公式 | 公式表达 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
八、反三角函数
反三角函数是三角函数的逆函数，常用于求角度：
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
总结
三角函数是数学中的基础内容之一，其公式繁多且应用广泛。通过系统地学习和整理这些公式，可以提高解题效率，增强逻辑思维能力。希望本文能够帮助你更好地理解和掌握三角函数的相关知识。
