【三角函数通用公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握一些常见的三角函数通用公式，有助于提高解题效率，简化运算过程。以下是对常见三角函数公式的总结与归纳。
一、基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦定义 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦定义 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切定义 | $ \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 直角三角形中，对边与邻边的比值 |
| 余切定义 | $ \cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} $ | 正切的倒数 |
| 正割定义 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 余弦的倒数 |
| 余割定义 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 正弦的倒数 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达 | 说明 |
| $ \sin(90^\circ - \theta) $ | $ \cos\theta $ | 正弦与余弦互换 |
| $ \cos(90^\circ - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 余弦与正弦互换 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 偶函数性质 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ | 正切的对称性 |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 正弦的周期性变化 |
三、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦和角 | $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦和 |
| 正弦差角 | $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦差 |
| 余弦和角 | $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦和 |
| 余弦差角 | $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦差 |
| 正切和角 | $ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ | 用于计算两个角的正切和 |
| 正切差角 | $ \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ | 用于计算两个角的正切差 |
四、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta $ | 两倍角的正弦 |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 两倍角的余弦 |
| 余弦倍角（其他形式） | $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $ 或 $ 2\cos^2\theta - 1 $ | 多种表达方式 |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2 \tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 两倍角的正切 |
五、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 半角的正弦 |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 半角的余弦 |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ 或 $ \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 半角的正切 |
六、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦乘积 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 两正弦相乘转化为余弦之差 |
| 余弦乘积 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)] $ | 两余弦相乘转化为余弦之和 |
| 正弦与余弦乘积 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ | 正弦与余弦相乘转化为正弦之和 |
七、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦和 | $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 正弦之和转化为乘积 |
| 正弦差 | $ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 正弦之差转化为乘积 |
| 余弦和 | $ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 余弦之和转化为乘积 |
| 余弦差 | $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 余弦之差转化为乘积 |
总结
三角函数的通用公式是解决三角问题的重要工具，熟练掌握这些公式可以提升解题速度和准确率。通过合理运用这些公式，能够更高效地处理涉及角度、周期性和波动的问题。建议在学习过程中多做练习，加深理解，灵活应用。
